12. Найдите значение выражения \( 3^{\log_3 7} + 49^{\log_7 \sqrt{13}} \).

Решение:

Используем основные свойства логарифмов:

\( a^{\log_a b} = b \)

\( a^{\log_{a^k} b} = b^{1/k} \)

\( \log_a b^c = c \log_a b \)

Первое слагаемое:

\[ 3^{\log_3 7} = 7 \]

Второе слагаемое:

\[ 49^{\log_7 \sqrt{13}} = (7^2)^{\log_7 \sqrt{13}} = 7^{2 \cdot \log_7 \sqrt{13}} = 7^{\log_7 (\sqrt{13})^2} = 7^{\log_7 13} = 13 \]

Сложим полученные значения:

\[ 7 + 13 = 20 \]

Ответ: 20.