№ 11. В равнобедренной трапеции ABCD (AB = CD), AD = 10, CD = 5. Диагональ BD перпендикулярна AB. Найдите отмеченные углы B, C и D.

В прямоугольном треугольнике ABD угол B равен 90°, гипотенуза AD = 10, а AB = CD = 5. Катет AB равен половине гипотенузы, поэтому угол D между AD и BD равен 30°, а угол A равен 60°.

Поскольку BC ∥ AD, угол между BD и BC равен углу между BD и AD: отмеченный угол B равен 30°. Односторонние углы при боковой стороне CD дополняют друг друга до 180°, поэтому ∠C = 180° − ∠D четырёхугольника.

Угол четырёхугольника при D складывается из угла между AD и BD (30°) и отмеченного угла между BD и CD. В равнобедренной трапеции углы A и D равны, значит, полный угол D равен 60°. Тогда отмеченный угол между BD и CD равен 60° − 30° = 30°. Следовательно, ∠C = 120°.

Ответ: отмеченный угол B — 30°, ∠C = 120°, отмеченный угол между BD и CD — 30°.