№ 12. В равнобедренной трапеции ABCD (AB = CD, BC ∥ AD) диагонали AC и BD пересекаются в O. Известны ∠CBD = 31° и ∠BAC = 39°. Найдите ∠D и ∠C.

В равнобедренной трапеции углы при верхнем основании равны: ∠ABC = ∠BCD. Диагональ BD делит угол ABC на углы ABD и CBD, поэтому ∠ABC = ∠ABD + 31°.

В треугольнике AOB угол BAO равен 39°. Из параллельности оснований угол ABO равен углу между BD и AD; по рисунку диагональ BD является биссектрисой угла D, поэтому этот угол равен половине ∠D.

Однако приведённых данных недостаточно, чтобы определить ∠ABD (или равносильную ему величину): отметки на рисунке показывают равенство боковых сторон трапеции, но не задают дополнительного равенства углов диагонали. Поэтому углы ∠D и ∠C однозначно не находятся без дополнительного условия о диагоналях.

Ответ: по указанным данным ∠D и ∠C однозначно определить нельзя.