№ 9. В равнобедренной трапеции ABCD (AB = CD, BC ∥ AD) AB = 7, AH = 3, BH ⟂ AD. Диагональ BD — биссектриса угла D. Найдите AD.

В прямоугольном треугольнике ABH по теореме Пифагора: BH² = AB² − AH² = 7² − 3² = 40, поэтому BH = 2√10.

Так как BH ⟂ AD и BC ∥ AD, угол между BD и AD равен углу между BD и BC. По условию BD — биссектриса угла D, значит, треугольник BHD имеет равные углы при B и D, а потому BH = HD.

Следовательно, HD = 2√10. Тогда AD = AH + HD = 3 + 2√10.

Ответ: AD = 3 + 2√10.