№ 11. В трапеции ABCD AD = 10, CD = 5, AB = CD, BD ⟂ AB. Найдите углы, отмеченные вопросительными знаками при вершинах A, B, C и D; проведена диагональ BD.

В прямоугольном треугольнике ABD гипотенуза AD = 10, а катет AB = 5. Поэтому sin ∠ADB = 5/10 = 1/2, значит, ∠ADB = 30° и ∠BAD = 60°.

Поскольку BC ∥ AD, накрест лежащие углы ∠CBD и ∠ADB равны: ∠CBD = 30°. Углы B и C трапеции составляют линейную пару с углами A и D соответственно, поэтому ∠C = 180° − 60° = 120°.

В треугольнике BCD угол при B равен 180° − ∠CBD = 150°? Здесь угол треугольника при B — это угол между BC и BD, равный 30°. Тогда ∠BDC = 180° − 30° − 120° = 30°. Полный угол D равен ∠ADB + ∠BDC = 30° + 30° = 60°.

Ответ: ∠A = 60°, угол между BC и BD равен 30°, ∠C = 120°, угол между BD и CD равен 30° (∠D = 60°).