11. В треугольнике АВС угол C равен 90°, АС = 2, \(\sin A = \frac{\sqrt{17}}{17}\). Найдите ВС.

Дано:

• Прямоугольный треугольник АВС
• \( \angle C = 90^{\circ} \)
• \( AC = 2 \)
• \( \sin A = \frac{\sqrt{17}}{17} \)

Найти:

• \( BC \)

Решение:

В прямоугольном треугольнике синус острого угла равен отношению противолежащего катета к гипотенузе:

• \( \sin A = \frac{BC}{AB} \)

Косинус острого угла равен отношению прилежащего катета к гипотенузе:

• \( \cos A = \frac{AC}{AB} \)

Сначала найдем \( \cos A \) через \( \sin A \):

• \( \cos^2 A = 1 - \sin^2 A = 1 - (\frac{\sqrt{17}}{17})^2 = 1 - \frac{17}{17^2} = 1 - \frac{1}{17} = \frac{17-1}{17} = \frac{16}{17} \)
• \( \cos A = \sqrt{\frac{16}{17}} = \frac{4}{\sqrt{17}} = \frac{4\sqrt{17}}{17} \)

Теперь, зная \( \cos A \) и \( AC \), мы можем найти \( AB \):

• \( \cos A = \frac{AC}{AB} \)
• \( AB = \frac{AC}{\cos A} = \frac{2}{\frac{4\sqrt{17}}{17}} = \frac{2 \cdot 17}{4\sqrt{17}} = \frac{34}{4\sqrt{17}} = \frac{17}{2\sqrt{17}} = \frac{17\sqrt{17}}{2 \cdot 17} = \frac{\sqrt{17}}{2} \)

Теперь, зная \( AB \) и \( \sin A \), мы можем найти \( BC \):

• \( \sin A = \frac{BC}{AB} \)
• \( BC = AB \cdot \sin A = \frac{\sqrt{17}}{2} \cdot \frac{\sqrt{17}}{17} = \frac{17}{2 \cdot 17} = \frac{1}{2} \)

Ответ: \(\frac{1}{2}\)