2. В треугольнике АВС угол C равен 90°, sinA=\frac{3}{5}, AC=4. Найдите АВ.

Дано:

• Прямоугольный треугольник АВС
• \( \angle C = 90^{\circ} \)
• \( \sin A = \frac{3}{5} \)
• \( AC = 4 \)

Найти:

• \( AB \)

Решение:

В прямоугольном треугольнике синус острого угла равен отношению противолежащего катета к гипотенузе. Следовательно:

• \( \sin A = \frac{BC}{AB} \)

Также в прямоугольном треугольнике выполняется теорема Пифагора:

• \( AC^2 + BC^2 = AB^2 \)

Из условия \( \sin A = \frac{3}{5} \) и \( AC = 4 \), мы можем найти \( BC \).

Из \( \sin A = \frac{BC}{AB} \), выразим \( BC \):

• \( BC = AB \cdot \sin A = AB \cdot \frac{3}{5} \)

Теперь подставим это в теорему Пифагора:

• \( 4^2 + (AB \cdot \frac{3}{5})^2 = AB^2 \)
• \( 16 + AB^2 \cdot \frac{9}{25} = AB^2 \)
• \( 16 = AB^2 - AB^2 \cdot \frac{9}{25} \)
• \( 16 = AB^2 \cdot (1 - \frac{9}{25}) \)
• \( 16 = AB^2 \cdot (\frac{25-9}{25}) \)
• \( 16 = AB^2 \cdot \frac{16}{25} \)
• \( AB^2 = 16 \cdot \frac{25}{16} \)
• \( AB^2 = 25 \)
• \( AB = \sqrt{25} \)
• \( AB = 5 \)

Ответ: 5