6. В треугольнике АВС угол C равен 90°, sinA=0,4, АС = 3√21. Найдите АВ.

Дано:

• Прямоугольный треугольник АВС
• \( \angle C = 90^{\circ} \)
• \( \sin A = 0.4 = \frac{4}{10} = \frac{2}{5} \)
• \( AC = 3\sqrt{21} \)

Найти:

• \( AB \)

Решение:

В прямоугольном треугольнике синус острого угла равен отношению противолежащего катета к гипотенузе:

• \( \sin A = \frac{BC}{AB} \)

Косинус острого угла равен отношению прилежащего катета к гипотенузе:

• \( \cos A = \frac{AC}{AB} \)

Сначала найдем \( \cos A \) через \( \sin A \):

• \( \cos^2 A = 1 - \sin^2 A = 1 - (\frac{2}{5})^2 = 1 - \frac{4}{25} = \frac{25-4}{25} = \frac{21}{25} \)
• \( \cos A = \sqrt{\frac{21}{25}} = \frac{\sqrt{21}}{5} \)

Теперь, зная \( \cos A \) и \( AC \), мы можем найти \( AB \):

• \( \cos A = \frac{AC}{AB} \)
• \( AB = \frac{AC}{\cos A} = \frac{3\sqrt{21}}{\frac{\sqrt{21}}{5}} = 3\sqrt{21} \cdot \frac{5}{\sqrt{21}} = 3 \cdot 5 = 15 \)

Ответ: 15