3. В треугольнике АВС угол C равен 90°, sinA = \(\frac{2\sqrt{5}}{5}\), Найдите ВС.

Дано:

• Прямоугольный треугольник АВС
• \( \angle C = 90^{\circ} \)
• \( \sin A = \frac{2\sqrt{5}}{5} \)
• \( AC = 17 \)

Найти:

• \( BC \)

Решение:

В прямоугольном треугольнике синус острого угла равен отношению противолежащего катета к гипотенузе. Следовательно:

• \( \sin A = \frac{BC}{AB} \)

Мы знаем \( \sin A \) и \( AC \). Мы можем найти \( BC \), если найдем \( AB \).

Сначала найдем \( AB \) через \( \cos A \). Нам нужно сначала найти \( \cos A \).

Используем основное тригонометрическое тождество: \( \sin^2 A + \cos^2 A = 1 \)

• \( (\frac{2\sqrt{5}}{5})^2 + \cos^2 A = 1 \)
• \( \frac{4 \cdot 5}{25} + \cos^2 A = 1 \)
• \( \frac{20}{25} + \cos^2 A = 1 \)
• \( \frac{4}{5} + \cos^2 A = 1 \)
• \( \cos^2 A = 1 - \frac{4}{5} \)
• \( \cos^2 A = \frac{1}{5} \)
• \( \cos A = \sqrt{\frac{1}{5}} = \frac{1}{\sqrt{5}} = \frac{\sqrt{5}}{5} \)

Теперь, зная \( \cos A \), мы можем найти \( AB \). В прямоугольном треугольнике косинус острого угла равен отношению прилежащего катета к гипотенузе:

• \( \cos A = \frac{AC}{AB} \)
• \( AB = \frac{AC}{\cos A} = \frac{17}{\frac{\sqrt{5}}{5}} = \frac{17 \cdot 5}{\sqrt{5}} = \frac{85}{\sqrt{5}} = \frac{85 \sqrt{5}}{5} = 17 \sqrt{5} \)

Теперь, когда мы знаем \( AB \), мы можем найти \( BC \) используя \( \sin A \):

• \( \sin A = \frac{BC}{AB} \)
• \( BC = AB \cdot \sin A = 17 \sqrt{5} \cdot \frac{2\sqrt{5}}{5} = \frac{17 \cdot 2 \cdot 5}{5} = 17 \cdot 2 = 34 \)

Ответ: 34