5. В треугольнике АВС угол C равен 90°, \(\sin A = \frac{3\sqrt{34}}{34}\). Найдите ВС.

Дано:

• Прямоугольный треугольник АВС
• \( \angle C = 90^{\circ} \)
• \( \sin A = \frac{3\sqrt{34}}{34} \)
• \( AC = 4 \)

Найти:

• \( BC \)

Решение:

В прямоугольном треугольнике синус острого угла равен отношению противолежащего катета к гипотенузе:

• \( \sin A = \frac{BC}{AB} \)

Также в прямоугольном треугольнике выполняется теорема Пифагора:

• \( AC^2 + BC^2 = AB^2 \)

Из \( \sin A = \frac{3\sqrt{34}}{34} \) мы можем найти \( \cos A \):

• \( \cos^2 A = 1 - \sin^2 A = 1 - (\frac{3\sqrt{34}}{34})^2 = 1 - \frac{9 \cdot 34}{34^2} = 1 - \frac{9}{34} = \frac{34-9}{34} = \frac{25}{34} \)
• \( \cos A = \sqrt{\frac{25}{34}} = \frac{5}{\sqrt{34}} = \frac{5\sqrt{34}}{34} \)

Теперь, зная \( \cos A \) и \( AC \), мы можем найти \( AB \):

• \( \cos A = \frac{AC}{AB} \)
• \( AB = \frac{AC}{\cos A} = \frac{4}{\frac{5\sqrt{34}}{34}} = \frac{4 \cdot 34}{5\sqrt{34}} = \frac{136}{5\sqrt{34}} = \frac{136\sqrt{34}}{5 \cdot 34} = \frac{136\sqrt{34}}{170} = \frac{4\sqrt{34}}{5} \)

Теперь, зная \( AB \) и \( \sin A \), мы можем найти \( BC \):

• \( \sin A = \frac{BC}{AB} \)
• \( BC = AB \cdot \sin A = \frac{4\sqrt{34}}{5} \cdot \frac{3\sqrt{34}}{34} = \frac{4 \cdot 3 \cdot 34}{5 \cdot 34} = \frac{12}{5} \)

Ответ: \(\frac{12}{5}\)