4. В треугольнике АВС угол C равен 90°, АС = 4, sinA = \(\frac{\sqrt{5}}{5}\). Найдите ВС.

Дано:

• Прямоугольный треугольник АВС
• \( \angle C = 90^{\circ} \)
• \( AC = 4 \)
• \( \sin A = \frac{\sqrt{5}}{5} \)

Найти:

• \( BC \)

Решение:

В прямоугольном треугольнике синус острого угла равен отношению противолежащего катета к гипотенузе:

• \( \sin A = \frac{BC}{AB} \)

Также в прямоугольном треугольнике выполняется теорема Пифагора:

• \( AC^2 + BC^2 = AB^2 \)

Из \( \sin A = \frac{\sqrt{5}}{5} \) мы можем найти \( \cos A \):

• \( \cos^2 A = 1 - \sin^2 A = 1 - (\frac{\sqrt{5}}{5})^2 = 1 - \frac{5}{25} = 1 - \frac{1}{5} = \frac{4}{5} \)
• \( \cos A = \sqrt{\frac{4}{5}} = \frac{2}{\sqrt{5}} = \frac{2\sqrt{5}}{5} \)

Теперь, зная \( \cos A \) и \( AC \), мы можем найти \( AB \):

• \( \cos A = \frac{AC}{AB} \)
• \( AB = \frac{AC}{\cos A} = \frac{4}{\frac{2\sqrt{5}}{5}} = \frac{4 \cdot 5}{2\sqrt{5}} = \frac{20}{2\sqrt{5}} = \frac{10}{\sqrt{5}} = \frac{10\sqrt{5}}{5} = 2\sqrt{5} \)

Теперь, зная \( AB \) и \( \sin A \), мы можем найти \( BC \):

• \( \sin A = \frac{BC}{AB} \)
• \( BC = AB \cdot \sin A = 2\sqrt{5} \cdot \frac{\sqrt{5}}{5} = \frac{2 \cdot 5}{5} = 2 \)

Ответ: 2