113. Proporsiyani tashkil qiluvchi dastlabki uchtasi o'zaro 6 : 7 : 8 nisbatda. Agar proporsiyaning birinchi va oxirgi hadlari yig'indisi 144 ga teng bo'lsa, bu proporsiyaning to'rtinchi hadini toping.

Решение:

Пусть пропорция будет \( a : b : c : d \).

1. Отношение первых трех членов:

\( a : b : c = 6 : 7 : 8 \).

2. Условие для первого и последнего члена:

Из определения пропорции \( \frac{a}{b} = \frac{c}{d} \) или \( ad = bc \).

Для четырех членов пропорции \( a : b : c : d \) верно, что \( \frac{a}{b} = \frac{c}{d} \) не обязательно. Правильно, что \( \frac{a}{b} = \frac{c}{d} \) если \( b \) и \( c \) — средние члены. Более общая запись пропорции — это последовательность чисел, связанных определенными отношениями.

В данном случае, скорее всего, имеется в виду, что числа \( a, b, c, d \) являются членами пропорции, и отношение \( a : b : c \) задано, а также дано условие на \( a \) и \( d \).

Предположим, что речь идет о числах, составляющих пропорцию \( a : b = c : d \) или \( a : c = b : d \) и т.п. Однако, условие \( a : b : c = 6 : 7 : 8 \) и \( a + d = 144 \) наиболее вероятно означает, что \( a, b, c, d \) — это последовательность чисел, где \( a, b, c \) имеют указанное соотношение.

Интерпретация:

Пусть члены пропорции \( a, b, c, d \) таковы, что \( a : b : c = 6 : 7 : 8 \). Также дано, что \( a + d = 144 \).

Если мы имеем пропорцию \( a : b = c : d \), то \( \frac{a}{b} = \frac{c}{d} \).

С учетом \( a : b : c = 6 : 7 : 8 \), мы можем представить члены как:

\( a = 6k \), \( b = 7k \), \( c = 8k \) для некоторого коэффициента \( k \).

Теперь подставим это в условие \( a + d = 144 \):

\( 6k + d = 144 \).

Мы не можем найти \( d \) без дополнительной связи между \( a, b, c \) и \( d \).

Альтернативная интерпретация:

Возможно, имеется в виду, что \( a, b, c, d \) — это четыре числа, такие что \( a:b = c:d \) ИЛИ \( a:c = b:d \) и т.д., и при этом \( a:b:c = 6:7:8 \).

Самая распространенная интерпретация при таком условии — это что \( a, b, c, d \) являются членами некоторой числовой последовательности или ряда, но формулировка \( \text{Proporsiyani tashkil qiluvchi...} \) намекает на пропорцию \( a:b=c:d \).

Если \( a:b=c:d \), то \( ad = bc \).

Подставляем \( a=6k, b=7k, c=8k \):

\( (6k)d = (7k)(8k) \).

\( 6kd = 56k^2 \).

Если \( k \neq 0 \), то \( 6d = 56k \), значит \( d = \frac{56k}{6} = \frac{28k}{3} \).

Теперь используем условие \( a + d = 144 \):

\( 6k + \frac{28k}{3} = 144 \).

Приведем к общему знаменателю:

\( \frac{18k}{3} + \frac{28k}{3} = 144 \).

\( \frac{46k}{3} = 144 \).

\( k = \frac{144 \cdot 3}{46} = \frac{432}{46} = \frac{216}{23} \).

Теперь найдем \( d \):

\( d = \frac{28k}{3} = \frac{28}{3} \cdot \frac{216}{23} = \frac{28 \cdot 72}{23} = \frac{2016}{23} \).

Проверим:

\( a = 6k = 6 \cdot \frac{216}{23} = \frac{1296}{23} \).

\( d = \frac{2016}{23} \).

\( a + d = \frac{1296}{23} + \frac{2016}{23} = \frac{3312}{23} \). Это не равно 144.

\( 144 \cdot 23 = 3312 \). Значит, \( a+d=144 \) выполняется.

Ответ: Четвертый член пропорции равен \( \frac{2016}{23} \).