119. Прямая OA перпендикулярна плоскости OBC, и точка O является серединой отрезка AD. Докажите, что: а) AB = DB; б) AB = AC, если OB = OC; в) OB = OC, если AB = AC.

Так как O — середина AD, точки A, O, D лежат на одной прямой и OA = OD. Также OA ⟂ плоскости OBC, поэтому OA ⟂ OB и OA ⟂ OC.

а) Треугольники AOB и DOB прямоугольные, имеют общий катет OB и равные катеты OA = OD. Следовательно, их гипотенузы равны: AB = DB.

б) По теореме Пифагора AB² = OA² + OB², а AC² = OA² + OC². При OB = OC получаем AB² = AC², откуда AB = AC.

в) Из тех же равенств при AB = AC следует OA² + OB² = OA² + OC², значит, OB² = OC². Поскольку длины положительны, OB = OC.