№ 12. ABCD — параллелограмм. E лежит на BC, ED ⟂ AD, ED = 6, CD = 8, BK = 8, KD = 3, ∠ABK = 60°. Найдите AK, BE, EC и S_ABCD.

В прямоугольном треугольнике EDC гипотенуза CD = 8, катет ED = 6. По теореме Пифагора EC = √(8² − 6²) = √28 = 2√7.

В параллелограмме AB = CD = 8. В треугольнике ABK по теореме косинусов: AK² = AB² + BK² − 2 · AB · BK · cos 60° = 64 + 64 − 64 = 64, поэтому AK = 8.

AD = AK + KD = 8 + 3 = 11. Поскольку AD = BC, имеем BE = BC − EC = 11 − 2√7.

ED — высота к основанию AD, поэтому S_ABCD = 11 · 6 = 66.

Ответ: AK = 8, BE = 11 − 2√7, EC = 2√7, S_ABCD = 66.