12. ABCD — прямоугольник; проведены диагонали AC и BD, пересекающиеся в O. Угол между BA и BD при B равен 60°. Точки M и P лежат соответственно на AD и CD; AM = MD, а OP ⟂ CD. Найдите углы α и β по рисунку.

Угол B прямой, поэтому угол между BD и BC равен \(90°-60°=30°\). Поскольку AD ∥ BC, диагональ BD образует с AD угол 30°.

Точка O — центр прямоугольника, а M — середина AD, поэтому OM перпендикулярен AD. Следовательно, угол между OM и OD равен \(90°-30°=60°\), то есть \(\alpha=60°\).

Так как OP ⟂ CD и CD ⟂ AD, то OP ∥ AD. Диагонали прямоугольника образуют с горизонтальными сторонами равные острые углы, поэтому \(\beta=30°\).

Ответ: α = 60°, β = 30°.