12. Исследовать функцию на монотонность и экстремумы при помощи производной f(x)=1/4 x⁴ - 1/2 x² + 1/8.

Question

Вопрос:

Ответ:

ФИО:Телефон:Емаил:Полное описание сути нарушения прав (почему распространение данной информации запрещено Правообладателем):

Accepted Answer

Для исследования функции на монотонность и экстремумы найдем её производную и критические точки.

\( f'(x) = \frac{d}{dx}(\frac{1}{4}x^4 - \frac{1}{2}x^2 + \frac{1}{8}) = \frac{1}{4} \cdot 4x^3 - \frac{1}{2} \cdot 2x = x^3 - x \)

На интервале \( (-\infty, -1) \), выберем \( x = -2 \): \( f'(-2) = (-2)^3 - (-2) = -8 + 2 = -6 < 0 \). Функция убывает.
На интервале \( (-1, 0) \), выберем \( x = -0.5 \): \( f'(-0.5) = (-0.5)^3 - (-0.5) = -0.125 + 0.5 = 0.375 > 0 \). Функция возрастает.
На интервале \( (0, 1) \), выберем \( x = 0.5 \): \( f'(0.5) = (0.5)^3 - 0.5 = 0.125 - 0.5 = -0.375 < 0 \). Функция убывает.
На интервале \( (1, \infty) \), выберем \( x = 2 \): \( f'(2) = 2^3 - 2 = 8 - 2 = 6 > 0 \). Функция возрастает.

В точке \( x = -1 \) происходит смена знака производной с "-" на "+", значит, это точка минимума.
\( f(-1) = \frac{1}{4}(-1)^4 - \frac{1}{2}(-1)^2 + \frac{1}{8} = \frac{1}{4} - \frac{1}{2} + \frac{1}{8} = \frac{2 - 4 + 1}{8} = -\frac{1}{8} \) (точка минимума)
В точке \( x = 0 \) происходит смена знака производной с "+" на "-", значит, это точка максимума.
\( f(0) = \frac{1}{4}(0)^4 - \frac{1}{2}(0)^2 + \frac{1}{8} = \frac{1}{8} \) (точка максимума)
В точке \( x = 1 \) происходит смена знака производной с "-" на "+", значит, это точка минимума.
\( f(1) = \frac{1}{4}(1)^4 - \frac{1}{2}(1)^2 + \frac{1}{8} = \frac{1}{4} - \frac{1}{2} + \frac{1}{8} = \frac{2 - 4 + 1}{8} = -\frac{1}{8} \) (точка минимума)

Ответ:

Монотонность: Функция убывает на \( (-\infty, -1] \) и \( [0, 1] \). Функция возрастает на \( [-1, 0] \) и \( [1, \infty) \).
Экстремумы: Точки минимума: \( x = -1 \) ( \( y = -1/8 \) ) и \( x = 1 \) ( \( y = -1/8 \) ). Точка максимума: \( x = 0 \) ( \( y = 1/8 \) ).