15. В деревянном бруске длина равна 6см, а ширина – 8см. Диагональ образует с боковым ребром угол 45°. Найти объём и площадь боковой поверхности.

Решение:

Пусть брусок имеет размеры: длина \( l = 6 \) см, ширина \( w = 8 \) см, высота \( h \).

Диагональ основания бруска \( d_{base} \) найдем по теореме Пифагора: \( d_{base}^2 = l^2 + w^2 = 6^2 + 8^2 = 36 + 64 = 100 \) \( \Rightarrow d_{base} = 10 \) см.

Диагональ бруска \( d \) и диагональ основания \( d_{base} \) образуют прямоугольный треугольник с боковым ребром (высотой \( h \)).

По условию, диагональ \( d \) образует с боковым ребром \( h \) угол \( \alpha = 45^{\circ} \).

В этом прямоугольном треугольнике:

• \( \tan(\alpha) = \frac{d_{base}}{h} \)
• \( \tan(45^{\circ}) = \frac{10}{h} \)
• Так как \( \tan(45^{\circ}) = 1 \), то \( 1 = \frac{10}{h} \) \( \Rightarrow h = 10 \) см.

Теперь можем найти объём и площадь боковой поверхности.

1. Объём бруска (параллелепипеда):
• \( V = l \cdot w \cdot h = 6 \cdot 8 \cdot 10 = 480 \) см³.
2. Площадь боковой поверхности:
• Боковая поверхность состоит из четырех прямоугольников: двух с размерами \( l \times h \) и двух с размерами \( w \times h \).
• \( S_{side} = 2(l \cdot h) + 2(w \cdot h) = 2(6 \cdot 10) + 2(8 \cdot 10) \)
• \( S_{side} = 2(60) + 2(80) = 120 + 160 = 280 \) см².

Ответ: Объём = 480 см³, Площадь боковой поверхности = 280 см².