14. Два тела начинают двигаться из одной точки со скоростью v₁ = t + 1 м/с и v₂ = t³ - 3t м/с. Какое расстояние будет между ними через 6с от начала движения, если они движутся в одном направлении.

Решение:

Чтобы найти расстояние между телами, нужно найти их координаты в момент времени \( t = 6 \) с. Координата \( S(t) \) находится как интеграл от скорости \( v(t) \).

По условию, тела начинают движение из одной точки, поэтому начальная координата \( S(0) = 0 \) для обоих тел.

1. Найдем координату первого тела \( S_1(t) \):
• \( S_1(t) = \int v_1(t) dt = \int (t + 1) dt = \frac{t^2}{2} + t + C_1 \)
• При \( t = 0 \), \( S_1(0) = 0 \) \( \Rightarrow \frac{0^2}{2} + 0 + C_1 = 0 \) \( \Rightarrow C_1 = 0 \).
• \( S_1(t) = \frac{t^2}{2} + t \)
2. Найдем координату второго тела \( S_2(t) \):
• \( S_2(t) = \int v_2(t) dt = \int (t^3 - 3t) dt = \frac{t^4}{4} - \frac{3t^2}{2} + C_2 \)
• При \( t = 0 \), \( S_2(0) = 0 \) \( \Rightarrow \frac{0^4}{4} - \frac{3(0)^2}{2} + C_2 = 0 \) \( \Rightarrow C_2 = 0 \).
• \( S_2(t) = \frac{t^4}{4} - \frac{3t^2}{2} \)
3. Найдем координаты тел в момент времени \( t = 6 \) с:
• \( S_1(6) = \frac{6^2}{2} + 6 = \frac{36}{2} + 6 = 18 + 6 = 24 \) м.
• \( S_2(6) = \frac{6^4}{4} - \frac{3(6)^2}{2} = \frac{1296}{4} - \frac{3(36)}{2} = 324 - 3(18) = 324 - 54 = 270 \) м.
4. Найдем расстояние между телами. Так как они движутся в одном направлении, расстояние равно разности их координат:
• \( \Delta S = |S_2(6) - S_1(6)| = |270 - 24| = 246 \) м.

Ответ: 246 м.