7. Решите тригонометрическое уравнение: sin(x/4) = √2 / 2.

Решение:

Уравнение имеет вид \( \sin(\frac{x}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2} \).

Известно, что \( \sin(\frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2} \) и \( \sin(\frac{3\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2} \).

Следовательно, для аргумента \( \frac{x}{4} \) возможны следующие случаи:

1. \( \frac{x}{4} = \frac{\pi}{4} + 2\pi n \), где \( n \) — целое число.
2. \( \frac{x}{4} = \frac{3\pi}{4} + 2\pi k \), где \( k \) — целое число.

Умножим обе части каждого уравнения на 4, чтобы найти \( x \):

1. \( x = 4 \cdot (\frac{\pi}{4} + 2\pi n) = \pi + 8\pi n \)
2. \( x = 4 \cdot (\frac{3\pi}{4} + 2\pi k) = 3\pi + 8\pi k \)

Можно объединить решения в одну формулу, используя \( \pm \):

\[ \frac{x}{4} = \pm \frac{\pi}{4} + 2\pi n \]

\[ x = 4 \cdot (\pm \frac{\pi}{4} + 2\pi n) = \pm \pi + 8\pi n \]

Ответ: \( x = \pi + 8\pi n \) или \( x = 3\pi + 8\pi k \), где \( n, k \) — целые числа. Или \( x = \pm \pi + 8\pi n \).