12. Найдите производную функции: t(x) = 1/x³ + √x - √2

Решение:

Перепишем функцию в виде \( t(x) = x^{-3} + x^{\frac{1}{2}} - \sqrt{2} \) для удобства дифференцирования.

Используем правило степени \( (x^n)' = nx^{n-1} \) и правило дифференцирования константы.

• Производная \( x^{-3} \) равна \( -3x^{-3-1} = -3x^{-4} = -\frac{3}{x^4} \).
• Производная \( x^{\frac{1}{2}} \) равна \( \frac{1}{2}x^{\frac{1}{2}-1} = \frac{1}{2}x^{-\frac{1}{2}} = \frac{1}{2\sqrt{x}} \).
• Производная константы \( \sqrt{2} \) равна 0.

Сложим полученные результаты:

$$ t'(x) = -\frac{3}{x^4} + \frac{1}{2\sqrt{x}} - 0 $$ $$ t'(x) = -\frac{3}{x^4} + \frac{1}{2\sqrt{x}} $$

Ответ: \( t'(x) = -\frac{3}{x^4} + \frac{1}{2\sqrt{x}} \).