15. Найдите производную функции: f(x) = sin x / (x+1)

Решение:

Для нахождения производной функции \( f(x) = \frac{\text{sin}x}{x+1} \) используем правило дифференцирования частного: \( \left( \frac{u}{v} \right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2} \).

Пусть \( u = \text{sin}x \) и \( v = x+1 \).

Найдём производные \( u \) и \( v \):

• \( u' = (\text{sin}x)' = \text{cos}x \)
• \( v' = (x+1)' = 1 \)

Теперь подставим найденные значения в формулу:

$$ f'(x) = \frac{\text{cos}x(x+1) - \text{sin}x(1)}{(x+1)^2} $$

Раскроем скобки в числителе:

$$ f'(x) = \frac{x\text{cos}x + \text{cos}x - \text{sin}x}{(x+1)^2} $$

Ответ: \( f'(x) = \frac{x\text{cos}x + \text{cos}x - \text{sin}x}{(x+1)^2} \).