9. Найдите производную функции: f(x) = (x^3+1)/(x^2+1)

Решение:

Для нахождения производной функции \( f(x) = \frac{x^3+1}{x^2+1} \) используем правило дифференцирования частного: \( \left( \frac{u}{v} \right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2} \).

Пусть \( u = x^3+1 \) и \( v = x^2+1 \).

Найдём производные \( u \) и \( v \):

• \( u' = (x^3+1)' = 3x^2 \)
• \( v' = (x^2+1)' = 2x \)

Теперь подставим найденные значения в формулу:

$$ f'(x) = \frac{3x^2(x^2+1) - (x^3+1)(2x)}{(x^2+1)^2} $$

Раскроем скобки в числителе:

$$ f'(x) = \frac{3x^4 + 3x^2 - (2x^4 + 2x)}{(x^2+1)^2} $$ $$ f'(x) = \frac{3x^4 + 3x^2 - 2x^4 - 2x}{(x^2+1)^2} $$

Упростим числитель:

$$ f'(x) = \frac{x^4 + 3x^2 - 2x}{(x^2+1)^2} $$

Ответ: \( f'(x) = \frac{x^4 + 3x^2 - 2x}{(x^2+1)^2} \).