12. Найти x = BC, если AB = 12, AC = 6√2, ∠B = 30°.

По теореме косинусов для стороны AC:

\((6\sqrt2)^2=12^2+x^2-2\cdot12\cdot x\cos30^\circ.\)

Отсюда \(72=144+x^2-12\sqrt3x\), то есть \(x^2-12\sqrt3x+72=0\). Корни уравнения: \(x=\dfrac{12\sqrt3\pm12}{2}=6\sqrt3\pm6\). Оба корня положительны и задают возможные треугольники.

Ответ: \(x=6\sqrt3-6\) или \(x=6\sqrt3+6\).