12. Решите уравнение: (2x²+7x+3)/(x²-9) = 1

Краткое пояснение:

Приведём уравнение к стандартному виду, перенеся все члены в одну часть и приведя к общему знаменателю. Важно учесть, что знаменатель не может быть равен нулю.

Пошаговое решение:

1. Шаг 1: Определим область допустимых значений: \( x^2 - 9 ≠ 0 \) \( \rightarrow (x-3)(x+3) ≠ 0 \) \( \rightarrow x ≠ 3 \) и \( x ≠ -3 \).
2. Шаг 2: Перенесём 1 в левую часть уравнения:
   \( \frac{2x^2+7x+3}{x^2-9} - 1 = 0 \).
3. Шаг 3: Приведём к общему знаменателю \( x^2 - 9 \):
   \( \frac{2x^2+7x+3 - (x^2-9)}{x^2-9} = 0 \).
4. Шаг 4: Раскроем скобки в числителе:
   \( \frac{2x^2+7x+3 - x^2+9}{x^2-9} = 0 \).
5. Шаг 5: Упростим числитель:
   \( \frac{x^2+7x+12}{x^2-9} = 0 \).
6. Шаг 6: Дробь равна нулю, когда числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю. Решим уравнение \( x^2+7x+12 = 0 \).
   Найдем дискриминант: \( D = b^2 - 4ac = 7^2 - 4(1)(12) = 49 - 48 = 1 \).
7. Шаг 7: Найдем корни уравнения:
   \( x_{1,2} = \frac{-b ± √{D}}{2a} = \frac{-7 ± √{1}}{2(1)} = \frac{-7 ± 1}{2} \).
   \( x_1 = \frac{-7 + 1}{2} = \frac{-6}{2} = -3 \).
   \( x_2 = \frac{-7 - 1}{2} = \frac{-8}{2} = -4 \).
8. Шаг 8: Проверим найденные корни на соответствие области допустимых значений.
   \( x_1 = -3 \) не подходит, так как \( x ≠ -3 \).
   \( x_2 = -4 \) подходит.

Ответ: x = -4