14. Решите уравнение: x(x²+2x+1) = 2(x+1)

Краткое пояснение:

Заметим, что \( x^2+2x+1 \) является полным квадратом \( (x+1)^2 \). Подставим это в уравнение, раскроем скобки и решим полученное кубическое уравнение.

Пошаговое решение:

1. Шаг 1: Заменим \( x^2+2x+1 \) на \( (x+1)^2 \):
   \( x(x+1)^2 = 2(x+1) \).
2. Шаг 2: Перенесём все члены в левую часть:
   \( x(x+1)^2 - 2(x+1) = 0 \).
3. Шаг 3: Вынесем общий множитель \( (x+1) \):
   \( (x+1)[x(x+1) - 2] = 0 \).
4. Шаг 4: Раскроем скобки во втором множителе:
   \( (x+1)[x^2+x - 2] = 0 \).
5. Шаг 5: Теперь у нас есть произведение двух множителей, равное нулю.
   Первый множитель: \( x+1 = 0 \) \( \rightarrow x = -1 \).
6. Шаг 6: Второй множитель: \( x^2+x - 2 = 0 \). Решим это квадратное уравнение.
   Найдем дискриминант: \( D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4(1)(-2) = 1 + 8 = 9 \).
7. Шаг 7: Найдем корни квадратного уравнения:
   \( x_{1,2} = \frac{-b ± √{D}}{2a} = \frac{-1 ± √{9}}{2(1)} = \frac{-1 ± 3}{2} \).
   \( x_1 = \frac{-1 + 3}{2} = \frac{2}{2} = 1 \).
   \( x_2 = \frac{-1 - 3}{2} = \frac{-4}{2} = -2 \).

Ответ: x = -1, x = 1, x = -2