9. Решите уравнение: 1/(x-2)² - 1/(x-2) - 6 = 0

Краткое пояснение:

Это уравнение сводится к квадратному с помощью замены переменной. Важно учесть, что знаменатель не может быть равен нулю.

Пошаговое решение:

1. Шаг 1: Определим область допустимых значений: \( x - 2 ≠ 0 \) \( \rightarrow x ≠ 2 \).
2. Шаг 2: Сделаем замену переменной. Пусть \( y = \frac{1}{x-2} \). Тогда уравнение примет вид:
   \( y^2 - y - 6 = 0 \).
3. Шаг 3: Решим полученное квадратное уравнение для \( y \). Найдем дискриминант:
   \( D = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4(1)(-6) = 1 + 24 = 25 \).
4. Шаг 4: Найдем значения \( y \):
   \( y_{1,2} = \frac{-b ± √{D}}{2a} = \frac{-(-1) ± √{25}}{2(1)} = \frac{1 ± 5}{2} \).
   \( y_1 = \frac{1 + 5}{2} = \frac{6}{2} = 3 \).
   \( y_2 = \frac{1 - 5}{2} = \frac{-4}{2} = -2 \).
5. Шаг 5: Вернёмся к исходной переменной \( x \).
   Случай 1: \( y = 3 \).
   \( \frac{1}{x-2} = 3 \)
   \( 1 = 3(x-2) \)
   \( 1 = 3x - 6 \)
   \( 7 = 3x \) \( \rightarrow x = \frac{7}{3} \).
6. Шаг 6: Случай 2: \( y = -2 \).
   \( \frac{1}{x-2} = -2 \)
   \( 1 = -2(x-2) \)
   \( 1 = -2x + 4 \)
   \( 2x = 4 - 1 \)
   \( 2x = 3 \) \( \rightarrow x = \frac{3}{2} \).
7. Шаг 7: Проверим, что найденные значения \( x \) не равны 2.
   \( \frac{7}{3} ≠ 2 \) и \( \frac{3}{2} ≠ 2 \). Оба корня подходят.

Ответ: x = 7/3, x = 3/2