4. Решите уравнение: (x-3)(x-4)(x-5) = (x-2)(x-4)(x-5)

Краткое пояснение:

Чтобы решить это уравнение, перенесём все члены в одну сторону и вынесем общий множитель. Важно также рассмотреть случай, когда общий множитель равен нулю.

Пошаговое решение:

1. Шаг 1: Перенесём все члены в левую часть уравнения:
   \( (x-3)(x-4)(x-5) - (x-2)(x-4)(x-5) = 0 \).
2. Шаг 2: Вынесем общий множитель \( (x-4)(x-5) \):
   \( (x-4)(x-5) [(x-3) - (x-2)] = 0 \).
3. Шаг 3: Упростим выражение во вторых скобках:
   \( (x-4)(x-5) [x - 3 - x + 2] = 0 \)
   \( (x-4)(x-5) [-1] = 0 \).
4. Шаг 4: Умножим обе части на -1:
   \( (x-4)(x-5) = 0 \).
5. Шаг 5: Приравняем каждый множитель к нулю:
   \( x - 4 = 0 \) \( \rightarrow x = 4 \).
   \( x - 5 = 0 \) \( \rightarrow x = 5 \).
6. Шаг 6: Изначально мы могли заметить, что множители \( (x-4) \) и \( (x-5) \) присутствуют в обеих частях уравнения. Если \( (x-4)(x-5) ≠ 0 \), то есть \( x ≠ 4 \) и \( x ≠ 5 \), мы можем разделить обе части на \( (x-4)(x-5) \), получив \( x-3 = x-2 \), что приводит к \( -3 = -2 \), неверному утверждению. Это значит, что решения могут быть только там, где \( (x-4)(x-5) = 0 \).

Ответ: x = 4, x = 5