13. Решите уравнение: x⁴ = (4x-5)²

Краткое пояснение:

Приведём уравнение к виду \( a^2 = b^2 \), где \( a = x^2 \) и \( b = 4x-5 \) (или \( b = -(4x-5) \) ), что позволит свести его к двум квадратным уравнениям.

Пошаговое решение:

1. Шаг 1: Заметим, что \( x^4 = (x^2)^2 \). Тогда уравнение примет вид:
   \( (x^2)^2 = (4x-5)^2 \).
2. Шаг 2: Применим свойство \( a^2 = b^2 → a = ± b \):
   \( x^2 = 4x - 5 \) или \( x^2 = -(4x - 5) \).
3. Шаг 3: Решим первое уравнение: \( x^2 = 4x - 5 \).
   Перенесём все члены в левую часть: \( x^2 - 4x + 5 = 0 \).
   Найдем дискриминант: \( D = (-4)^2 - 4(1)(5) = 16 - 20 = -4 \).
   Так как \( D < 0 \), это уравнение не имеет действительных решений.
4. Шаг 4: Решим второе уравнение: \( x^2 = -(4x - 5) \).
   \( x^2 = -4x + 5 \).
   Перенесём все члены в левую часть: \( x^2 + 4x - 5 = 0 \).
   Найдем дискриминант: \( D = (4)^2 - 4(1)(-5) = 16 + 20 = 36 \).
5. Шаг 5: Найдем корни второго уравнения:
   \( x_{1,2} = \frac{-4 ± √{36}}{2(1)} = \frac{-4 ± 6}{2} \).
   \( x_1 = \frac{-4 + 6}{2} = \frac{2}{2} = 1 \).
   \( x_2 = \frac{-4 - 6}{2} = \frac{-10}{2} = -5 \).

Ответ: x = 1, x = -5