12. Все стороны и все углы пятиугольника равны. Докажите, что равны все его диагонали.

Обозначим вершины пятиугольника последовательно: A, B, C, D, E. Рассмотрим диагонали AC, BD и CE. Треугольники ABC и BCD равны по двум сторонам и углу между ними: AB = BC = CD, а ∠ABC = ∠BCD. Поэтому AC = BD.

Аналогично, треугольники BCD и CDE равны по двум сторонам и углу между ними, откуда BD = CE. Поворотом рассуждения получаем равенство каждой пары соседних диагоналей. Следовательно, все диагонали пятиугольника равны.