13. У пятиугольника равны все диагонали и пять углов между ними при всех вершинах. Докажите, что все стороны пятиугольника равны.

Обозначим вершины последовательно A, B, C, D, E. Рассмотрим треугольники ABC и BCD. Их диагонали AC и BD равны по условию, сторона BC у них общая, а углы между диагоналями при вершинах C и B равны. Значит, треугольники равны по двум сторонам и углу между ними, поэтому AB = CD.

Тем же рассуждением для последовательных пар треугольников, образованных диагоналями пятиугольника, получаем равенство соседних сторон. Следовательно, AB = BC = CD = DE = EA.