19. На сторонах угла с вершиной B отложили равные отрезки BA и BC. Внутри угла ABC взяли точки E и K так, что угол ABK равен углу CBE, а угол BAE равен углу BCK. Докажите, что BE = BK. (Рис.)

Рассмотрим треугольники ABK и CBE. По условию BA = BC и ∠ABK = ∠CBE. Кроме того, ∠BAK = ∠BCE: эти углы дополняют равные углы ∠BAE и ∠BCK до равных углов ABC, с учётом того, что точки E и K расположены внутри угла так, как показано на рисунке.

Следовательно, треугольники ABK и CBE равны по стороне и двум прилежащим углам. Поэтому соответствующие стороны BK и BE равны.

Ответ: BE = BK.