16. Диагональ AC четырёхугольника ABCD делит углы BAD и BCD пополам. Докажите, что диагонали четырёхугольника перпендикулярны.

Поскольку AC делит углы BAD и BCD пополам, ∠BAC = ∠CAD и ∠BCA = ∠ACD. Треугольники ABC и ADC подобны по двум углам.

В соответствующем подобии сторона AC соответствует самой себе, поэтому коэффициент подобия равен 1. Значит, треугольники равны, а AB = AD и CB = CD.

Точки B и D равноудалены от A и C. Следовательно, обе лежат на серединном перпендикуляре к AC. Прямая BD и есть этот серединный перпендикуляр, поэтому BD ⟂ AC.