12. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями y=0, y=5-x, x=4, x=2.

Решение:

Фигура ограничена осью абсцисс \( y=0 \), прямой \( y=5-x \) и вертикальными прямыми \( x=2 \) и \( x=4 \). Это трапеция.

Найдем значения \( y \) для \( x=2 \) и \( x=4 \):

• При \( x=2 \): \( y = 5-2 = 3 \).
• При \( x=4 \): \( y = 5-4 = 1 \).

Высота трапеции равна разности абсцисс: \( h = 4 - 2 = 2 \).

Основания трапеции равны ординатам точек: \( a = 3 \) и \( b = 1 \).

Площадь трапеции вычисляется по формуле \( S = \frac{a+b}{2} · h \).

\[ S = \frac{3+1}{2} · 2 = \frac{4}{2} · 2 = 2 · 2 = 4 \]

Или, используя определенный интеграл:

\[ S = \int_{2}^{4} (5-x)dx \]

1. Найдем первообразную функции \( y = 5-x \): \( F(x) = 5x - \frac{x^2}{2} \).
2. Вычислим определенный интеграл: \( S = F(4) - F(2) = \left(5 · 4 - \frac{4^2}{2}\right) - \left(5 · 2 - \frac{2^2}{2}\right) \).
3. \( S = \left(20 - \frac{16}{2}\right) - \left(10 - \frac{4}{2}\right) = (20 - 8) - (10 - 2) = 12 - 8 = 4 \).

Ответ: 4.