4. На рисунке изображены график функции y=f(x) и касательная к нему в точке с абсциссой хо. Найдите значение производной функции f(x) в точке хо.

Решение:

Значение производной функции в точке \( x_0 \) равно угловому коэффициенту касательной, проведенной к графику функции в этой точке. Угловой коэффициент касательной равен тангенсу угла наклона касательной к положительному направлению оси абсцисс.

По графику найдем две точки, через которые проходит касательная:

• Точка А: \( x_0 = -1 \), \( y_0 = 1 \).
• Возьмем другую точку на касательной, например, \( x = 1 \), \( y = 5 \).

Вычислим угловой коэффициент \( k \) по формуле \( k = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} \):

\[ k = \frac{5 - 1}{1 - (-1)} = \frac{4}{2} = 2 \]

Следовательно, \( f'(x_0) = k = 2 \).

Ответ: 2.