13. Решите неравенство (2/3)^x < 8^(1-x)

Перепишем неравенство, приведя основания к одному виду. Заметим, что 8 = 2^3.

\[ \left(\frac{2}{3}\right)^x < (2^3)^{1-x} \]

\[ \left(\frac{2}{3}\right)^x < 2^{3(1-x)} \]

\[ \left(\frac{2}{3}\right)^x < 2^{3-3x} \]

Теперь выразим 2 как 3^(log_3 2) или используем другой подход. Приведем оба основания к основанию 2:

\[ \left(2 < 3 > ight)^x < 2^{3-3x} \]

\[ 2^x < 3^x > < 2^{3-3x} \]

Это сложно. Попробуем привести к общему основанию, например, к основанию 2/3 или 3/2. Или же рассмотрим логарифмирование.

Приведем основания к единому виду. Заметим, что 8 = (2/3)^(-log_{2/3} 8). Это не удобно. Попробуем привести к основанию 2.

Левая часть: \(\) \( (2/3)^x = 2^x / 3^x \)

Правая часть: \(\) \( 8^(1-x) = (2^3)^(1-x) = 2^(3-3x) \)

Неравенство: \(\) \( 2^x / 3^x < 2^(3-3x) \)

\(\) \( 2^x < 3^x * 2^(3-3x) \)

\(\) \( 2^(x - (3-3x)) < 3^x \)

\(\) \( 2^(4x - 3) < 3^x \)

Это неравенство сложно решить аналитически без логарифмов или графического метода.

Давайте перепишем исходное неравенство:

\[ \left(\frac{2}{3}\right)^x < 8^{1-x} \]

Возьмем логарифм по основанию 2 от обеих частей:

\[ \log_2 \left(\frac{2}{3}\right)^x < \log_2 8^{1-x} \]

\[ x \log_2 \left(\frac{2}{3}\right) < (1-x) \log_2 8 \]

\[ x (\log_2 2 - \log_2 3) < (1-x) \times 3 \]

\[ x (1 - \log_2 3) < 3 - 3x \]

\[ x - x \log_2 3 < 3 - 3x \]

Перенесем члены с x влево:

\[ x + 3x - x \log_2 3 < 3 \]

\[ 4x - x \log_2 3 < 3 \]

\[ x (4 - \log_2 3) < 3 \]

Так как \(\) \( \log_2 3 > \log_2 2 = 1 \), то \(\) \( 4 - \log_2 3 > 0 \). Следовательно, мы можем разделить обе части неравенства на \(\) \( (4 - \log_2 3) \) без изменения знака неравенства:

\[ x < \frac{3}{4 - \log_2 3} \]

Теперь выразим \(\) \( \log_2 3 \) через натуральный логарифм или десятичный:

\[ \log_2 3 = \frac{\ln 3}{\ln 2} \approx \frac{1.0986}{0.6931} \approx 1.585 \]

\[ x < \frac{3}{4 - 1.585} \]

\[ x < \frac{3}{2.415} \]

\[ x \approx 1.242 \]

Альтернативный подход: привести основания к одному. Заметим, что \(\) \( 8 = (2/3)^{log_{2/3} 8} \). Это не удобно.

Приведем к основанию 2:

\[ \left(\frac{3}{2}\right)^{-x} < 2^{3(1-x)} \]

\[ \frac{3^{-x}}{2^{-x}} < 2^{3-3x} \]

\[ 3^{-x} < 2^{3-3x} \times 2^{-x} \]

\[ 3^{-x} < 2^{3-4x} \]

Возьмем логарифм по основанию 3:

\[ -x < (3-4x) \log_3 2 \]

\[ -x < 3 \log_3 2 - 4x \log_3 2 \]

\[ 4x \log_3 2 - x < 3 \log_3 2 \]

\[ x (4 \log_3 2 - 1) < 3 \log_3 2 \]

\[ x \left(\frac{4 \ln 2}{\ln 3} - 1\right) < \frac{3 \ln 2}{\ln 3} \]

\[ x \left(\frac{4 \ln 2 - \ln 3}{\ln 3}\right) < \frac{3 \ln 2}{\ln 3} \]

Так как \(\) \( \ln 2 > 0 \) и \(\) \( \ln 3 > 0 \), и \(\) \( 4 \ln 2 = \ln 16 \) > \(\) \( \ln 3 \), то \(\) \( 4 \ln 2 - \ln 3 > 0 \).

\[ x < \frac{3 \ln 2}{4 \ln 2 - \ln 3} \]

\[ x < \frac{\ln 8}{\ln 16 - \ln 3} \]

\[ x < \frac{\ln 8}{\ln (16/3)} \]

Это эквивалентно предыдущему результату:

\[ \frac{3}{4 - \log_2 3} = \frac{3}{4 - \frac{\ln 3}{\ln 2}} = \frac{3 \ln 2}{4 \ln 2 - \ln 3} = \frac{\ln 8}{\ln 16 - \ln 3} \]

Ответ: x < $$\frac{3}{4 - \log_2 3}$$