14. (1 балл) Найдите наименьшее значение функции y = -x^3 - 3x^2 + 9x - 2 на отрезке [-2;2]

Для нахождения наименьшего значения функции на отрезке, необходимо вычислить значения функции в критических точках (где производная равна нулю или не существует) и на концах отрезка.

1. Находим производную функции:

   \[ y' = -3x^2 - 6x + 9 \]

2. Приравниваем производную к нулю и находим критические точки:

   \[ -3x^2 - 6x + 9 = 0 \]

   Разделим на -3:

   \[ x^2 + 2x - 3 = 0 \]

   Решаем квадратное уравнение. Дискриминант D = b^2 - 4ac = 2^2 - 4(1)(-3) = 4 + 12 = 16.

   \[ x_1 = rac{-2 + √{16}}{2(1)} = rac{-2 + 4}{2} = rac{2}{2} = 1 \]

   \[ x_2 = rac{-2 - √{16}}{2(1)} = rac{-2 - 4}{2} = rac{-6}{2} = -3 \]

   Критические точки: x = 1 и x = -3.

3. Проверяем, попадают ли критические точки в заданный отрезок [-2;2]:

   x = 1 находится в отрезке [-2;2].

   x = -3 не находится в отрезке [-2;2].

4. Вычисляем значения функции на концах отрезка и в критической точке, попавшей в отрезок:

   Конечные точки отрезка: x = -2 и x = 2.

   Критическая точка в отрезке: x = 1.

   При x = -2:

   \[ y(-2) = -(-2)^3 - 3(-2)^2 + 9(-2) - 2 \]

   \[ y(-2) = -(-8) - 3(4) - 18 - 2 \]

   \[ y(-2) = 8 - 12 - 18 - 2 = -24 \]

   При x = 1:

   \[ y(1) = -(1)^3 - 3(1)^2 + 9(1) - 2 \]

   \[ y(1) = -1 - 3 + 9 - 2 = 3 \]

   При x = 2:

   \[ y(2) = -(2)^3 - 3(2)^2 + 9(2) - 2 \]

   \[ y(2) = -8 - 3(4) + 18 - 2 \]

   \[ y(2) = -8 - 12 + 18 - 2 = -4 \]

5. Сравниваем полученные значения и находим наименьшее:

   Значения функции: -24, 3, -4.

   Наименьшее значение равно -24.

Ответ: -24