16. (2 балла) Диагональ меньшей боковой грани прямоугольного параллелепипеда равна большему ребру основания. Высота параллелепипеда равна 2 см, диагональ основания равна 14 см. Найдите объем параллелепипеда.

Пусть ребра прямоугольного параллелепипеда равны a, b, c, где c - высота. Пусть a - большее ребро основания, b - меньшее ребро основания.

По условию:

Высота c = 2 см.

Диагональ основания d_осн = 14 см. По теореме Пифагора для основания: \(\) \( a^2 + b^2 = d_{осн}^2 \) => \(\) \( a^2 + b^2 = 14^2 = 196 \).

Диагональ меньшей боковой грани равна большему ребру основания. Меньшая боковая грань имеет стороны b и c. Ее диагональ d_бок = \(\) \( √{b^2 + c^2} \).

По условию, \(\) \( d_{бок} = a \).

Следовательно, \(\) \( a = √{b^2 + c^2} \).

Возведем обе части в квадрат:

\[ a^2 = b^2 + c^2 \]

Подставим значение c = 2:

\[ a^2 = b^2 + 2^2 \]

\[ a^2 = b^2 + 4 \]

Теперь у нас есть система из двух уравнений:

1. \(\) \( a^2 + b^2 = 196 \)
2. \(\) \( a^2 = b^2 + 4 \)

Подставим второе уравнение в первое:

\[ (b^2 + 4) + b^2 = 196 \]

\[ 2b^2 + 4 = 196 \]

\[ 2b^2 = 192 \]

\[ b^2 = 96 \]

Теперь найдем \(\) \( a^2 \) из второго уравнения:

\[ a^2 = 96 + 4 = 100 \]

Значит, \(\) \( a = √{100} = 10 \) см.

И \(\) \( b = √{96} = √{16 imes 6} = 4√{6} \) см.

Объем параллелепипеда V = a * b * c.

\[ V = 10 imes 4√{6} imes 2 \]

\[ V = 80√{6} \]

Ответ: $$80√{6}$$ см³