18. (2 балла) Б правильной четырехугольной пирамиде апофема равна 16 см; двугранный угол при основании пирамиды равен 45°. Найдите объем пирамиды.

Пусть a - сторона основания, h - высота пирамиды, r - апофема.

Апофема (r) = 16 см.

Двугранный угол при основании = 45°.

В правильной четырехугольной пирамиде апофема - это высота боковой грани. Двугранный угол при основании - это угол между апофемой и линией, соединяющей середину стороны основания с центром основания. В основании правильной четырехугольной пирамиды лежит квадрат. Центр квадрата делит сторону пополам. Таким образом, рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный высотой пирамиды (h), апофемой (r) и отрезком, соединяющим центр основания с серединой стороны основания (который равен половине стороны основания, т.е. a/2).

В этом прямоугольном треугольнике, двугранный угол при основании (45°) является одним из острых углов. Апофема (r) является гипотенузой, высота пирамиды (h) - противолежащий катет, а половина стороны основания (a/2) - прилежащий катет.

Используем тригонометрию:

\[ \sin(45^°) = rac{h}{r} \]

\(\) \( \frac{1}{√{2}} = rac{h}{16} \)

\[ h = rac{16}{√{2}} = rac{16√{2}}{2} = 8√{2} \] см.

Теперь найдем сторону основания 'a'.

\[ \cos(45^°) = rac{a/2}{r} \]

\(\) \( \frac{1}{√{2}} = rac{a/2}{16} \)

\[ rac{a}{2} = rac{16}{√{2}} = 8√{2} \]

\[ a = 16√{2} \] см.

Объем пирамиды вычисляется по формуле V = (1/3) * S_основания * h.

Площадь основания (квадрата) S_осн = a^2.

\[ S_{осн} = (16√{2})^2 = 16^2 imes (√{2})^2 = 256 imes 2 = 512 \] см².

\[ V = rac{1}{3} imes 512 imes 8√{2} \]

\[ V = rac{4096√{2}}{3} \]

Ответ: $$\frac{4096√{2}}{3}$$ см³