15. (2 балла) Найдите все решения уравнения cos 2x + sin^2 x + √3 cos x = 0, принадлежащие отрезку [-π; π].

Используем формулу косинуса двойного угла: cos(2x) = 1 - 2sin^2(x).

Подставим ее в уравнение:

\[ (1 - 2\sin^2 x) + \sin^2 x + \sqrt{3} \cos x = 0 \]

Упростим:

\[ 1 - \sin^2 x + \sqrt{3} \cos x = 0 \]

Используем основное тригонометрическое тождество: \(\) \( \sin^2 x = 1 - \cos^2 x \).

\[ 1 - (1 - \cos^2 x) + \sqrt{3} \cos x = 0 \]

\[ \cos^2 x + \sqrt{3} \cos x = 0 \]

Вынесем общий множитель \(\) \( \cos x \):

\[ \cos x (\cos x + \sqrt{3}) = 0 \]

Это уравнение распадается на два:

1. \(\) \( \cos x = 0 \)

   Решения: \(\) \( x = rac{\pi}{2} + \pi k \), где k - целое число.

2. \(\) \( \cos x + \sqrt{3} = 0 \) => \(\) \( \cos x = -\sqrt{3} \)

   Это уравнение не имеет решений, так как значение косинуса не может быть меньше -1.

Теперь найдем решения из первой серии, принадлежащие отрезку \(\) \( [-\pi; \pi] \).

При k = 0: \(\) \( x = rac{\pi}{2} \)

При k = 1: \(\) \( x = rac{\pi}{2} + \pi = \frac{3\pi}{2} \) (не входит в отрезок)

При k = -1: \(\) \( x = rac{\pi}{2} - \pi = -\frac{\pi}{2} \)

При k = -2: \(\) \( x = rac{\pi}{2} - 2\pi = -\frac{3\pi}{2} \) (не входит в отрезок)

Таким образом, решения на отрезке \(\) \( [-\pi; \pi] \) следующие:

\[ x = \frac{\pi}{2}, x = -\frac{\pi}{2} \]

Ответ: $$\frac{\pi}{2}$$, -$$\frac{\pi}{2}$$