14. К числу 31 допишите слева и справа по одной цифре так, чтобы получившееся число было кратно 15 (рассмотрите все возможные случаи).

Решение:

Число должно делиться на 15, значит, оно должно делиться на 3 и на 5. Чтобы число делилось на 5, оно должно оканчиваться на 0 или 5. Чтобы число делилось на 3, сумма его цифр должна делиться на 3.

Пусть число имеет вид \( x31y \), где \( x \) — цифра слева, \( y \) — цифра справа. \( x ≠ 0 \).

Случай 1: Число оканчивается на 0 (y = 0).

Число имеет вид \( x310 \). Сумма цифр: \( x + 3 + 1 + 0 = x + 4 \). Число должно делиться на 3, значит \( x+4 \) делится на 3. Возможные значения \( x \): 2 (сумма 6), 5 (сумма 9), 8 (сумма 12). Таким образом, числа: 2310, 5310, 8310.

Случай 2: Число оканчивается на 5 (y = 5).

Число имеет вид \( x315 \). Сумма цифр: \( x + 3 + 1 + 5 = x + 9 \). Число должно делиться на 3, значит \( x+9 \) делится на 3. Так как 9 делится на 3, то \( x \) тоже должно делиться на 3. Возможные значения \( x \): 3 (сумма 12), 6 (сумма 15), 9 (сумма 18). Таким образом, числа: 3315, 6315, 9315.

Ответ: 2310, 5310, 8310, 3315, 6315, 9315.