23. Докажите, что числа 468 и 833 — взаимно простые.

Решение:

Чтобы доказать, что числа 468 и 833 взаимно простые, нужно найти их наибольший общий делитель (НОД) и показать, что он равен 1.

Разложим число 468 на простые множители:

\( 468 = 2 × 234 = 2 × 2 × 117 = 2^2 × 3 × 39 = 2^2 × 3 × 3 × 13 = 2^2 × 3^2 × 13 \).

Разложим число 833 на простые множители:

Проверим делимость на простые числа:

• Не делится на 2, 3 (8+3+3=14), 5.
• Проверим 7: \( 833 = 7 × 119 \).
• \( 119 = 7 × 17 \).

Таким образом, \( 833 = 7^2 × 17 \).

Сравним разложения на простые множители:

• \( 468 = 2^2 × 3^2 × 13 \)
• \( 833 = 7^2 × 17 \)

У этих чисел нет общих простых множителей. Следовательно, их наибольший общий делитель равен 1.

Вывод: Так как НОД(468, 833) = 1, то числа 468 и 833 являются взаимно простыми.