14 Найдите значение выражения \( \frac{8^2 \cdot 9^5}{6^8} \).

Решение:

Представим основания степеней в виде простых множителей:

\( 8 = 2^3 \), \( 9 = 3^2 \), \( 6 = 2 \cdot 3 \)

Подставим эти значения в выражение:

\( \frac{(2^3)^2 \cdot (3^2)^5}{(2 \cdot 3)^8} \)

Упростим степени:

\( \frac{2^{3 \cdot 2} \cdot 3^{2 \cdot 5}}{2^8 \cdot 3^8} = \frac{2^6 \cdot 3^{10}}{2^8 \cdot 3^8} \)

Разделим степени с одинаковыми основаниями:

\( 2^{6-8} \cdot 3^{10-8} = 2^{-2} \cdot 3^2 \)

Преобразуем отрицательную степень:

\( \frac{1}{2^2} \cdot 3^2 = \frac{1}{4} \cdot 9 = \frac{9}{4} \)

Переведем в смешанное число:

\( \frac{9}{4} = 2 \frac{1}{4} \)

Ответ: 2 \(\frac{1}{4}\)