14. Решите уравнение: (8 / (x²-16)) + (x / (x+4)) = 2 / (x-4)

Решение:

Приведём все дроби к общему знаменателю. Разложим \( x^2 - 16 \) как разность квадратов: \( x^2 - 16 = (x-4)(x+4) \). Общий знаменатель — \( (x-4)(x+4) \).

\[ \frac{8}{(x-4)(x+4)} + \frac{x \cdot (x-4)}{(x+4)(x-4)} = \frac{2 \cdot (x+4)}{(x-4)(x+4)} \]

• Теперь, когда знаменатели равны, приравняем числители:

\[ 8 + x(x-4) = 2(x+4) \]

• Раскроем скобки:

\[ 8 + x^2 - 4x = 2x + 8 \]

• Перенесём все члены в левую часть:

\[ x^2 - 4x - 2x + 8 - 8 = 0 \]

• Приведём подобные члены:

\[ x^2 - 6x = 0 \]

• Вынесем общий множитель \( x \) за скобки:

\[ x(x - 6) = 0 \]

• Это уравнение имеет два корня: \( x = 0 \) и \( x - 6 = 0 \), откуда \( x = 6 \).
• Необходимо проверить, не обращаются ли знаменатели в ноль при этих значениях \( x \).
• При \( x = 0 \): \( x^2 - 16 = -16 \neq 0 \), \( x+4 = 4 \neq 0 \), \( x-4 = -4 \neq 0 \). Корень \( x = 0 \) подходит.
• При \( x = 6 \): \( x^2 - 16 = 36 - 16 = 20 \neq 0 \), \( x+4 = 10 \neq 0 \), \( x-4 = 2 \neq 0 \). Корень \( x = 6 \) подходит.

Ответ: 0; 6.