15. Теплоход проходит по течению реки до пункта назначения 176 км и после стоянки возвращается в пункт отправления. Найдите скорость теплохода в неподвижной воде, если скорость течения реки 2 км/ч, а время, затраченное на путь по течению, на 2 часа меньше времени, затраченного на путь против течения. Стоянкой пренебречь.

Решение:

Пусть \( v \) — скорость теплохода в неподвижной воде (км/ч).

Скорость теплохода по течению: \( v_{по \; теч} = v + 2 \) (км/ч).

Скорость теплохода против течения: \( v_{против \; теч} = v - 2 \) (км/ч).

Расстояние до пункта назначения: \( S = 176 \) км.

Время в пути по течению: \( t_{по \; теч} = \frac{S}{v_{по \; теч}} = \frac{176}{v+2} \) (ч).

Время в пути против течения: \( t_{против \; теч} = \frac{S}{v_{против \; теч}} = \frac{176}{v-2} \) (ч).

По условию, время в пути по течению на 2 часа меньше времени в пути против течения:

\[ t_{по \; теч} = t_{против \; теч} - 2 \]

• Подставим выражения для времени:

\[ \frac{176}{v+2} = \frac{176}{v-2} - 2 \]

• Перенесём \( \frac{176}{v-2} \) в левую часть и приведём к общему знаменателю:

\[ \frac{176}{v+2} - \frac{176}{v-2} = -2 \]

• Общий знаменатель — \( (v+2)(v-2) = v^2 - 4 \).
• \( \frac{176(v-2) - 176(v+2)}{(v+2)(v-2)} = -2 \)
• \( \frac{176v - 352 - 176v - 352}{v^2 - 4} = -2 \)
• \( \frac{-704}{v^2 - 4} = -2 \)
• Умножим обе части на \( v^2 - 4 \):

\[ -704 = -2(v^2 - 4) \]

• Разделим обе части на -2:

\[ 352 = v^2 - 4 \]

• Перенесём 4 в левую часть:

\[ v^2 = 352 + 4 \]

• \( v^2 = 356 \)
• \( v = \sqrt{356} \)

Рассчитаем приближенное значение \( \sqrt{356} \).

• \( 18^2 = 324 \)
• \( 19^2 = 361 \)

\( \sqrt{356} \approx 18.87 \)

Примечание: Возможно, в условии задачи ошибка, и число должно давать целый квадратный корень. Если предположить, что расстояние было 170 км, то \( v^2 = 170^2 / (170/2+2) - 4 = 28900 / 87 - 4 \) - нецелое. Если предположить, что время отличалось на 4 часа, то \( v^2 = 176*2/4 + 4 = 88+4=92 \).

Если принять, что в пункте 15 задачи допущена опечатка и расстояние должно быть другим, чтобы скорость была целой. Например, если бы расстояние было 168 км, то:

\[ \frac{168}{v+2} = \frac{168}{v-2} - 2 \]

• \( \frac{168(v-2) - 168(v+2)}{(v+2)(v-2)} = -2 \)
• \( \frac{168v - 336 - 168v - 336}{v^2 - 4} = -2 \)
• \( \frac{-672}{v^2 - 4} = -2 \)
• \( 336 = v^2 - 4 \)
• \( v^2 = 340 \) - тоже не целый корень.

Вернемся к исходным данным. Скорость должна быть больше скорости течения, то есть v > 2.

\[ v^2 = 356 \]

• \( v = \sqrt{356} \approx 18.87 \)

Если задача предполагает целый ответ, то, вероятно, есть опечатка. Но исходя из предоставленных данных, ответ:

Ответ: \(\sqrt{356}\).