144. Упростить выражение: 1) (1 − cos α)/sin α; 2) sin α/(1 + cos α); 3) (1 − cos 2α + sin 2α)/(1 + cos 2α + sin 2α); 4) (1 + cos 4α)/sin 4α; 5) (1 + cos 2α + sin 2α)/(sin α + cos α); 6) (1 − cos 2α) ctg α.

Question

Вопрос:

Accepted Answer

Применяем формулы двойного угла и формулы половинного угла.

\(\frac{1-\cos\alpha}{\sin\alpha}= g\frac{\alpha}{2}.\)
\(\frac{\sin\alpha}{1+\cos\alpha}= g\frac{\alpha}{2}.\)
\(\frac{1-\cos2\alpha+\sin2\alpha}{1+\cos2\alpha+\sin2\alpha}=\frac{2\sin^2\alpha+2\sin\alpha\cos\alpha}{2\cos^2\alpha+2\sin\alpha\cos\alpha}=\frac{2\sin\alpha(\sin\alpha+\cos\alpha)}{2\cos\alpha(\sin\alpha+\cos\alpha)}= g\alpha.\)
\(\frac{1+\cos4\alpha}{\sin4\alpha}=\frac{2\cos^2 2\alpha}{2\sin2\alpha\cos2\alpha}=\ctg2\alpha.\)
\(\frac{1+\cos2\alpha+\sin2\alpha}{\sin\alpha+\cos\alpha}=\frac{2\cos^2\alpha+2\sin\alpha\cos\alpha}{\sin\alpha+\cos\alpha}=2\cos\alpha.\)
\((1-\cos2\alpha)\ctg\alpha=2\sin^2\alpha\cdot\frac{\cos\alpha}{\sin\alpha}=\sin2\alpha.\)

Ответ: 1) \( g\frac{\alpha}{2}\); 2) \( g\frac{\alpha}{2}\); 3) \( g\alpha\); 4) \(\ctg2\alpha\); 5) \(2\cos\alpha\); 6) \(\sin2\alpha\).