146. Доказать тождество: 1) ((1 − cos 2α)/sin 2α) · ctg α = 1; 2) sin 2α/(1 + cos 2α) = tg α; 3) (1 − 2 sin² α)/(1 + sin 2α) = (1 − tg α)/(1 + tg α); 4) (1 + sin 2α)/cos 2α = tg(π/4 + α).

Question

Вопрос:

Accepted Answer

\(\frac{1-\cos2\alpha}{\sin2\alpha}\ctg\alpha=\frac{2\sin^2\alpha}{2\sin\alpha\cos\alpha}\cdot\frac{\cos\alpha}{\sin\alpha}=1.\)
\(\frac{\sin2\alpha}{1+\cos2\alpha}=\frac{2\sin\alpha\cos\alpha}{2\cos^2\alpha}= g\alpha.\)
Преобразуем числитель и знаменатель: \(1-2\sin^2\alpha=\cos2\alpha\), а \(1+\sin2\alpha=(\sin\alpha+\cos\alpha)^2\). Тогда
\(\frac{1-2\sin^2\alpha}{1+\sin2\alpha}=\frac{(\cos\alpha-\sin\alpha)(\cos\alpha+\sin\alpha)}{(\cos\alpha+\sin\alpha)^2}=\frac{\cos\alpha-\sin\alpha}{\cos\alpha+\sin\alpha}=\frac{1- g\alpha}{1+ g\alpha}.\)
\(\frac{1+\sin2\alpha}{\cos2\alpha}=\frac{(\sin\alpha+\cos\alpha)^2}{(\cos\alpha-\sin\alpha)(\cos\alpha+\sin\alpha)}=\frac{\cos\alpha+\sin\alpha}{\cos\alpha-\sin\alpha}= g\left(\frac{\pi}{4}+\alpha\right).\)

Ответ: