148. Доказать, что если 0 < α < π/2, то √(1 + sin α) − √(1 − sin α) = 2 sin(α/2).

Пусть \(0<\alpha<\frac{\pi}{2}\). Тогда \(0<\frac{\alpha}{2}<\frac{\pi}{4}\), поэтому \(\cos\frac{\alpha}{2}>\sin\frac{\alpha}{2}>0\). Используем формулы \(1+\sin\alpha=(\sin\frac{\alpha}{2}+\cos\frac{\alpha}{2})^2\) и \(1-\sin\alpha=(\cos\frac{\alpha}{2}-\sin\frac{\alpha}{2})^2\). С учётом положительности выражений под квадратами:

\(\sqrt{1+\sin\alpha}-\sqrt{1-\sin\alpha}=(\sin\frac{\alpha}{2}+\cos\frac{\alpha}{2})-(\cos\frac{\alpha}{2}-\sin\frac{\alpha}{2})=2\sin\frac{\alpha}{2}.\)

Тождество доказано.