145. Доказать тождество: 1) 2 cos²(π/4 − α/2) = 1 + sin α; 2) 2 sin²(π/4 − α/2) = 1 − sin α; 3) (3 − 4 cos 2α + cos 4α)/(3 + 4 cos 2α + cos 4α) = tg⁴ α; 4) (1 + sin 2α + cos 2α)/(1 + sin 2α − cos 2α) = ctg α.

Question

Вопрос:

Accepted Answer

По формуле \(2\cos^2x=1+\cos2x\): \(2\cos^2\left(\frac{\pi}{4}-\frac{\alpha}{2}\right)=1+\cos\left(\frac{\pi}{2}-\alpha\right)=1+\sin\alpha\).
По формуле \(2\sin^2x=1-\cos2x\): \(2\sin^2\left(\frac{\pi}{4}-\frac{\alpha}{2}\right)=1-\cos\left(\frac{\pi}{2}-\alpha\right)=1-\sin\alpha\).
Положим \(c=\cos2\alpha\). Тогда \(\cos4\alpha=2c^2-1\), поэтому
\(\frac{3-4c+\cos4\alpha}{3+4c+\cos4\alpha}=\frac{2(1-c)^2}{2(1+c)^2}=\left(\frac{1-\cos2\alpha}{1+\cos2\alpha}\right)^2=\left(\frac{2\sin^2\alpha}{2\cos^2\alpha}\right)^2= g^4\alpha.\)
Раскроем формулы двойного угла: числитель равен \(1+2\sin\alpha\cos\alpha+\cos^2\alpha-\sin^2\alpha=2\cos\alpha(\sin\alpha+\cos\alpha)\); знаменатель равен \(1+2\sin\alpha\cos\alpha-\cos^2\alpha+\sin^2\alpha=2\sin\alpha(\sin\alpha+\cos\alpha)\). Следовательно, отношение равно \(\ctg\alpha\).

Ответ: