15. Диагональ АС ромба ABCD равна 48, а \frac{AC}{BD} = \frac{4}{3}. Найдите радиус окружности, вписанной в ромб.

Решение:

• Диагонали ромба пересекаются под прямым углом и точкой пересечения делятся пополам.
• Диагональ AC = 48.
• По условию, \frac{AC}{BD} = \frac{4}{3}.
• Подставляем значение AC: \frac{48}{BD} = \frac{4}{3}.
• Отсюда BD = \frac{48 \cdot 3}{4} = 12 \cdot 3 = 36.
• Тогда половина диагоналей равна: AO = OC = 48 / 2 = 24; BO = OD = 36 / 2 = 18.
• Сторона ромба (AB) находится по теореме Пифагора в прямоугольном треугольнике AOB: AB² = AO² + BO² = 24² + 18² = 576 + 324 = 900.
• AB = \sqrt{900} = 30.
• Радиус вписанной окружности (r) в ромб находится по формуле: r = \frac{d_1 \cdot d_2}{4a}, где d_1 и d_2 — диагонали, а — сторона ромба.
• r = \frac{48 \cdot 36}{4 \cdot 30} = \frac{1728}{120}.
• r = 14.4.
• Альтернативный способ: Высота ромба (h) равна диаметру вписанной окружности (2r). Площадь ромба S = \frac{1}{2} d_1 d_2 = \frac{1}{2} \cdot 48 \cdot 36 = 864.
• Также площадь ромба S = a \cdot h = 30 \cdot h.
• 30h = 864, h = \frac{864}{30} = 28.8.
• Радиус вписанной окружности r = h / 2 = 28.8 / 2 = 14.4.

Ответ: 14.4