№ 15. Решить уравнение: sin5x - sinx=0

Решение:

Используем формулу разности синусов: \( \sin a - \sin b = 2 \cos \frac{a+b}{2} \sin \frac{a-b}{2} \).

\( \sin 5x - \sin x = 2 \cos \frac{5x+x}{2} \sin \frac{5x-x}{2} = 2 \cos 3x \sin 2x = 0 \).

Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю.

1. \( \cos 3x = 0 \)

\( 3x = \frac{\pi}{2} + \pi n \), где \( n \) — целое число.

\( x = \frac{\pi}{6} + \frac{\pi n}{3} \).

2. \( \sin 2x = 0 \)

\( 2x = \pi k \), где \( k \) — целое число.

\( x = \frac{\pi k}{2} \).

Ответ: $$x = \frac{\pi}{6} + \frac{\pi n}{3}$$ или $$x = \frac{\pi k}{2}$$, где $$n, k$$ — целые числа.